مدل سازی طبیعت با فراکتال ها

بازی های رایانه ای و جلوه های ویژه سینما بخش اعظم واقع گرایی خود را به مطالعه فراکتال ها مدیون هستند. مارتین ترنر شما را از حرکت یک ذره میکروسکوپی به ایجاد گنهای خیالی سوق می دهد.

حرکت براون در طبیعت

این یک گیاه شناس اسکاتلندی رابرت براون بود که هنگام غوطه ور شدن در یک مایع یا گاز ، متوجه حرکت تقریباً تصادفی یک ذره کوچک شد. مایع یا گاز از مولکولهای به طور مداوم در حال حرکت تشکیل شده است که از جهات مختلف به ذرات کوچک برخورد می کنند. این جنبش اکنون به نام او نامگذاری شده و به نام Brownian Motion نامیده می شود. یک فیزیکدان ژان پرین سعی کرد سرعت خود را که مشتق موقعیت ذرات با توجه به زمان است ، اندازه گیری کند ، اما دریافت که سرعت ذرات

"از نظر وحشی از نظر بزرگی و جهت متفاوت است و تمایل به محدودیتی ندارد زیرا زمان لازم برای مشاهده کاهش می یابد"

تصاویر زیر یک ذره تولید شده توسط رایانه را در فواصل زمانی مختلف مشاهده می کند. با کاهش فواصل زمانی ، طول محاسبه شده مسیر در واقع افزایش می یابد.

شکل بالا مسیر یک ذره تولید شده توسط رایانه را نشان می دهد. در فواصل زمانی منظم ، موقعیت ذرات مشاهده و ترسیم می شود. سه شکل زیر سپس مسیر یکسانی را نشان می دهد اما با فرکانس این مشاهدات هر بار دو برابر می شود.

این مطالعه از حرکت براون به ما نشان می دهد که برخی از فرآیندهای موجود در طبیعت به بهترین وجه توسط توابع غیر متمایز مدل می شوند. این توابع دارای طولی است که بی نهایت است.

اصطلاح فراکتال ، که در اواسط دهه 1970 توسط Benoit Mandelbrot معرفی شده است ، اکنون معمولاً برای توصیف این خانواده از توابع غیر متمایز که به طول نامتناهی هستند ، استفاده می شود. هرچه به منحنی نزدیک تر نگاه می کنید ، طول ظاهری طولانی تر و طولانی تر می شود. در افراط و تفریط این یک خط بی نهایت طولانی ایجاد می کند. در واقعیت ما به سطح ریز مولکول هایی که در حال فشار ذرات هستند ، می رسیم. برای کسانی که می خواهند اطلاعات بیشتری در مورد تمایز داشته باشند و فراکتال ها به "ریشه فراکتال ها" در جای دیگر این شماره نگاهی بیندازند.

فون کوچ - از منحنی ها تا جزایر

یکی از مشهورترین فراکتال های قطعی توسط نیلز فون کوچ توصیف شده و جزیره فون کوچ نامیده می شود. در نظر بگیرید که با یک خط مستقیم شروع کنید که ما با آغازگر تماس خواهیم گرفت.

اکنون ما یک ژنراتور یا قانون تولید را تعریف می کنیم که بیان می کند

"آغازگر را بگیرید ، آن را با یک فاکتور r = 1/3 کاهش دهید ، n = 4 نسخه تهیه کنید و آغازگر را با این نسخه های کوچک شده جایگزین کنید ، همانطور که نشان داده شده است".

ژنراتور تکرار می شود.

پس از تعداد نامتناهی تکرارها ، این منحنی در همه جا غیر متمایز خواهد بود و همچنین دارای طول بی نهایت خواهد بود. برای ایجاد جزیره فون کوچ (که به آن فون کچ نیز گفته می شود) به سه خط می پیوندیم تا یک مثلث را تشکیل دهیم و روند فوق را از هر سه طرف تکرار کنیم.

با کمال تعجب ، محاسبه منطقه محصور شده توسط هر سطح از جزیره بسیار دشوار نیست. ما ممکن است منطقه مثلث اصلی را تعریف کنیم

در هر سطح مثلث های کوچک اضافه شده به این جزیره یک نهم اندازه آخرین مثلث های اضافه شده است. در سطح 1 ما سه مورد از این مثلث ها را اضافه می کنیم ، بنابراین

پس از این تعداد مثلث های کوچک اضافه شده در هر سطح چهار برابر تعداد اضافه شده در سطح آخر است. ببینید که آیا می توانید دلیل این امر را انجام دهید.

از این رو در سطح 2 ،

با تکرار این مراحل ، می بینیم که در سطح n

سپس با نزدیک شدن به N به بی نهایت می بینیم که منطقه همگرا می شود

بنابراین اگرچه این جزیره دارای مرز فراکتالی و به همین دلیل یکی از طول نامحدود است ، اما منطقه محصور محدود و بسیار خوب تعریف شده است.

مناظر - سطوح ماندلبروت

منحنی فوق از این نظر قطعی است که همیشه هر چقدر هم که ایجاد شود ، یکسان به نظر می رسد. اکنون ما برخی از تصادفی را به فرایند اضافه می کنیم و از آن برای ایجاد یک منظره کوه مصنوعی استفاده می کنیم.

با یک شبکه چهار امتیاز که گوشه ها را تعیین می کند شروع کنید. اکنون چهار مقدار تصادفی را مشخص می کنیم که ارتفاعات را در این نقاط تعریف می کنند و ارتفاعات را با یک عامل مقیاس گذاری d مقیاس می کنیم.

بعد این مربع را به چهار مربع تقسیم می کنیم. این چهار نقطه جدید را در حاشیه مربع اصلی ما و همچنین یک نکته در مرکز آن تعریف می کند. ارتفاعات در این پنج نقطه جدید به شرح زیر محاسبه می شود:

1. برای یک "نقطه لبه" داده شده ابتدا میانگین ارتفاعات دو گوشه همسایه آن را محاسبه می کنیم و سپس به یک مقدار تصادفی اضافه می کنیم. این مقدار تصادفی به طور معمول توسط یک عامل D توزیع و مقیاس می شود₁مربوط به D اصلی توسط

    

اکنون می توانیم دقیقاً همان رویه را در هر یک از چهار مربع کوچکتر انجام دهیم ، تا زمانی که دوست داریم ادامه دهیم ، اما جایی که ما در هر مرحله کوچکتر و کوچکتر عامل مقیاس گذاری را انجام می دهیم. با انجام این کار اطمینان حاصل می کنیم که هرچه به چشم انداز نزدیکتر می شویم ، "برجستگی ها" در سطح کوچکتر می شوند ، دقیقاً مانند یک منظره واقعی. عامل مقیاس گذاری در مرحله n d است_n، داده شده توسط

سرانجام ما به یک منظره مداوم فراکتال می رسیم.

مقدار H مورد استفاده در بالا مشخص می کند که منظره حاصل چقدر صاف است. وقتی H کوچک باشد ، سطح بسیار خشن است. با افزایش H چشم انداز نرم تر می شود. دنباله زیر نشان می دهد که چه اتفاقی می افتد به عنوان ما متفاوت است.