اعداد لوکاس

ما در صفحات قبلی دیدیم که سری دیگری کاملاً شبیه به سری Fibonacci است که اغلب هنگام کار با سری Fibonacci اتفاق می افتد. ادوارد لوکاس (1842-1842) (که نام "اعداد فیبوناچی" را به سریال نوشته شده توسط لئوناردو از پیزا داد) این سری دوم از اعداد را مورد مطالعه قرار داد: 2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18تعداد لوکاس به افتخار او. در این صفحه ما برخی از خصوصیات جالب خود را به صورت لوکاس بررسی می کنیم و همچنین به رابطه نزدیک آن با شماره های فیبوناچی می پردازیم. صفحه زیر با استفاده از هر دو مقدار شروع ، بیشتر می شود.

نماد به این معنی است که شما ریاضیات را انجام می دهید. تحقیقات در پایان آن بخش. نماد ماشین حساب یک ماشین حساب تعاملی را در آن بخش نشان می دهد.

2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 .. More ..

سایر مقادیر شروع برای یک سری "Fibonacci"

چه می شود اگر ما همان قانون کلی را داشته باشیم: آخرین دو مقدار را برای به دست آوردن مورد بعدی اضافه کنید اما به جای 0 و 1 با مقادیر مختلف شروع کردیم؟

شما ریاضیات را انجام می دهید.

1. سری Fibonacci با 0 و 1 شروع می شود. اگر ما یک سری "فیبوناچی" را با 1 و 2 شروع کنیم ، با استفاده از همان قاعده کلی برای سری فیبوناچی مناسب است ، به طوری که f₀= 1 و F₁= 2؟چه اعدادی دنبال می شود؟

2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 .. More ..

سریال لوکاس

ریاضیدان فرانسوی ، ادوارد لوکاس (1842-1842) ، که سری شماره های 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 را ارائه داد. در حال بررسی الگوهای شماره فیبوناچی بود:

قانون فیبوناچی برای افزودن آخرین دو مورد برای بدست آوردن بعدی ، اما در اینجا ما از 2 و 1 (به این ترتیب) به جای 0 و 1 برای اعداد (معمولی) فیبوناچی شروع می کنیم. این سریال که پس از او شماره های لوکاس نامیده می شود ، به شرح زیر تعریف شده است: جایی که ما اعضای آن را به عنوان l می نویسیم_n، برای l ucas:

اعداد لوکاس دارای خواص زیادی شبیه به شماره های فیبوناچی هستند و به طور منحصر به فرد در میان سریالی که در ریاضیات شما بررسی کرده اید. در بخش بالا ، تعداد لوکاس اغلب در فرمول های مختلف برای شماره های فیبوناچی رخ می دهد. همچنین ، اگر به فرمول های زیادی برای شماره های لوکاس نگاه کنید ، می بینید که سری Fibonacci نیز در آنجا است. بخش بعدی شما را با برخی از این معادلات آشنا می کند. بنابراین از همه سریال های "General Fibonacci" ، به نظر می رسد این دو مهمترین هستند.

به عنوان مثال ، در اینجا نمودار نسبت شماره های لوکاس پی در پی است:

در حقیقت ، برای هر سری که با اضافه کردن آخرین دو مقدار برای به دست آوردن مورد بعدی شکل گرفته است ، و مهم نیست که دو مقدار مثبت با چه دو مقدار مثبت شروع می کنیم ، همیشه به اصطلاحاتی خواهیم رسید که نسبت آنها PHI = 1 · 6180339 است .. در نهایت!

2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 .. More ..

دو فرمول مربوط به اعداد لوکاس و فیبوناچی

فرض کنید ما شماره های فیبوناچی متناوب را اضافه می کنیم ، f_n-1 + F_n+1؛یعنی در مورد دو شماره فیبوناچی در هر دو طرف یک شماره لوکاس در جدول زیر چه متوجه می شوید؟برای برجسته کردن شماره های فیبوناچی همسایه ، روی شماره لوکاس خاکستری ضربه بزنید.

حالا حدس خود را در مورد برخی از شماره های لوکاس دیگر امتحان کنید. این اولین معادله ما را به اعداد فیبوناچی f (n) به شماره های لوکاس l (n) وصل می کند:

مبلغ L (2) = 3 و L (4) = 7 f (3) = 2 نیست ، با این حال ، چند مورد اضافی دیگر را در این الگوی امتحان کنید: آیا الگوی را مشاهده کرده اید؟

شما ریاضیات را انجام می دهید.

1. 1. در مورد اعداد فیبوناچی که دو مکان از لوکاس (N) فاصله دارند ، چه می شود؟برای برجسته کردن فیبوناچی برای اضافه کردن ، روی شماره لوکاس کلیک کنید.

   رابطه بین F (N-2) و F (N+2) چیست؟شما باید بتوانید یک فرمول ساده پیدا کنید که هیچ شماره لوکاس را شامل نمی شود.

   l (n-k) + l (n + k) = l (n) l (k) برای همه عدد صحیح n اگر k حتی l (n-k) + l (n + k) = 5f (k) f (n) برای همهintegers n اگر k عجیب است

   f (n+k) - f ( n-k) = f (n) l (k) ، k odd f (n+k) - f ( n-k) = l (n) f (k) ، k حتیl (n+k) - l ( n-k) = l (n) l (k) ، k odd l (n+k) - l ( n-k) = 5f (n) f (k) ، k حتی

   2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 .. More ..

   بر روی نماد اینجا و هر کجا که در این صفحه مشاهده می کنید ، کلیک کنید تا به صفحه ماشین حساب شماره Fibonacci و Lucas (در یک پنجره جداگانه) بروید.

   فاکتورهای لوکاس اعداد فیبوناچی

   هنگامی که ما شروع به بررسی خواص اعداد فیبوناچی کردیم ، ابتدا عوامل اعداد فیبوناچی را مورد بررسی قرار دادیم و دریافتیم که اگر یک شماره شاخص N عاملی از شماره دیگر M باشد ، در این صورت اعداد فیبوناچی با N و M به عنوان شماره شاخص نیز عوامل هستند. به عنوان مثال ، از آنجا که 4 عامل 8 است ، سپس فیبر (4) = 3 عامل فیبر (8) = 24 است. اگر به شماره های فیبوناچی در موقعیت های یکنواخت (حتی شماره شاخص) که فیبر (2n) است ، نگاه کنیم ، همه آنها توسط فیبر (2) قابل تقسیم خواهند بود. اما این 1 است ، که خیلی جالب نیست ، بنابراین بیایید نگاهی به عوامل فیبر (N) آنها بیندازیم (از آنجا که N عاملی از 2N است). در اینجا یک جدول وجود دارد که f (2n) = kf (n) و ما k را برای چند مقادیر اول n می یابیم:

   n	فیبر (N)	2n	فیبر (2n)	k = فیبر (2n)/فیبر (n)
   1	1	2	1	1
   2	1	4	3	3
   3	2	6	8	4
   4	3	8	21	7
   5	5	10	55
   6	8	12	144
   7	13	14	377

   آره. شماره های لوکاس!

   بنابراین کدام تعداد لوکاس عامل فیبر (2n) است؟شماره شاخص مقادیر موجود در ستون K را پیدا کنید. آیا می توانید این ریاضیات را بنویسید؟

   این نتیجه را می توان با القاء یا با استفاده از فرمول Binet برای F (n) و فرمول مشابهی که در زیر برای شماره های لوکاس توسعه خواهیم داد ، اثبات کرد.

   یک مورد خاص

   فرض کنید ما به شماره های فیبوناچی با شماره شاخص ، n ، که قدرت 2 است ، نگاه می کنیم ، یعنی آن اعداد فیبوناچی در شماره های 2 ، 4 = 2 2 ، 8 = 2 3 ، 16 = 2 4 ، 32 = 25 ، 64 = 2 6 ، و غیره.

   توسط فرمول بالا:- F (4) = 3 محصول F (2) = 1 و L (2) = 3 است. بنابراین f (4) = l (2)

   مورد بعدی f (8) است:- f (8) = f (4) x l (4). با استفاده از نتیجه ای که به تازگی پیدا کرده ایم ، می توانیم این را به صورت زیر بنویسیم: F (8) = L (2) × L (4)

   مورد بعدی f (16) است:- f (16) = f (8) x l (8). باز هم ، با استفاده از نتیجه ای که فقط برای F (8) داریم ، می توانیم این را به صورت زیر بنویسیم: F (16) = L (2) × L (4) × L (8)

   آیا می توانید الگوی در حال توسعه در اینجا را ببینید؟

   یک شماره فیبوناچی با شماره شاخص در قدر ت-2 سری 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ،. محصولی از تمام شماره های لوکاس با شماره شاخص ها قبل از آن در همان سری است

   فرمولی برای شماره های لوکاس شامل PHI و PHI

   فرمول بینه برای اعداد فیبوناچی از نظر PHI و PHI:

   فیبر (n) =	phi n - ( phi) n
   	√5

   برخی از اشکال جایگزین برای این معادله عبارتند از:

   در صفحه ارقام جذاب PHI شما ریاضیات را انجام می دهید. در روابط عددی بین PHI و بخش اختیارات آن از شما خواسته است که به جای کم کردن قدرت PHI و (-PHI) مانند فرمول FIB (N) در بالا ، بررسی کنید که چه اتفاقی می افتد:

   این جدول را با چند ردیف دیگر گسترش دهید. آیا ارزش ها به نظر می رسد که همیشه عدد صحیح هستند؟اگر آنها باشند (اشاره!) ، چه اعداد صحیح را لوس می کنند؟آره! آنها دوباره شماره های لوکاس هستند:

   شما ریاضیات را انجام می دهید.

   1. با استفاده از جدول فوق ، دور قدرت PHI. به چه چیزی توجه می کنید؟کدام مقدار متناسب با الگوی نیست؟

   2 f (n) + f (n + 1) = f (n) + (f (n) + f (n + 1)) = f (n) + f (n + 2) توسط قانون فیبوناچی = l (n+1) با فرمول اول برای شماره های لوکاس در بالا

   در جدول بالا ، یک شماره لوکاس L (n) را با شماره فیبوناچی در ستون بعدی F (N+1) ضرب کنید. آیا می توانیم این موضوع را از نظر شماره فیبوناچی دیگری بنویسیم؟

   n	لوگاریتم)	F (n+1)	l (n) f (n+1)	نزدیکترین فیبر
   2	3	2	6	5 = F (5)
   3	4	3	12	13 = F (7)
   4	7	5	35	34 = F (9)
   5	11	8	88	89 = F (11)

   این نشان می دهد l (n) f (n+1) = f (2n+1) 1

   شاید جای تعجب آور باشد که تقریباً همیشه وقتی سعی می کنیم فرمولی حاصل از اعداد فیبوناچی پیدا کنیم ، می یابیم که شماره های لوکاس نیز در آنجا هستند! فرمول های بسیار بیشتری وجود دارد که شامل شماره های فیبوناچی و لوکاس و PHI و PHI در صفحه فرمول های فیبوناچی و فی من است.

   2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 .. More ..

   یک ترفند شماره ای بر اساس شماره PHI ، Lucas و Fibonacci!

   در اینجا ترفندی وجود دارد که می توانید از آن استفاده کنید تا دوستان خود را با قدرت محاسبه کننده (فرضیه) خود متحیر کنید. تنها چیزی که باید به خاطر بسپارید چند شماره لوکاس و فیبوناچی است و می توانید یک عبارت پیچیده مانند این را بنویسید:

   2 4	=	16	"2 تا چهارم 16 است"	سپس
   2	=	4 16	"2 اولین ریشه 16 است"

   شما اغلب دکمه ای را روی ماشین حساب خود پیدا خواهید کرد که ریشه ها را استخراج می کند (شاید مشخص شده باشدy x) در نزدیکی دکمه ای که قدرت یک عدد را محاسبه می کند (مشخص شده استx y). اگر وجود نداردy xدکمه روی ماشین حساب خود ، می توانید به عنوان مثال با محاسبه 1/4 ابتدا 4 16 را محاسبه کنید و از این به عنوان قدرت y با x به عنوان 16 استفاده کنید.

   راز چیست؟

   شما باید تعدادی از شماره های اولیه لوکاس و فیبوناچی و مواضع آنها را در سکانس ها بیاموزید:

   ابتدا برای قدرتهای PHI که در فرمول های بخش PHI PHI دیدیم ، به رابطه "Fibonacci" سفر می کنیم - صفحه حقایق و ارقام بیشتر:

   phi 2 = phi + 1 ، بنابراین ، ضرب شده توسط phi ما Phi 3 = Phi 2 + Phi 1 را داریم و ، همچنان به ضرب PHI ادامه می دهیم:

   1	=	1
   پستان	=	پستان	اکنون این دو ردیف را با استفاده از قانون فیبوناچی اضافه کنید
   فی 2	=	1		+	پستان	و دوباره ، اضافه کردن دو ردیف آخر:
   PHI 3	=	1		+	2 PHI	و دوباره.
   فی 4	=	2		+	3 PHI	و دوباره.
   PHI 5	=	3		+	5 فی

   1	=	1	=	(2)/2
   پستان	=	پستان	=	(1 + √ 5)/2
   فی 2	=	1	+	پستان	=	(3 + √ 5)/2
   PHI 3	=	1	+	2 PHI	=	(4 + 2 √ 5)/2
   فی 4	=	2	+	3 PHI	=	(7 + 3 √ 5)/2
   PHI 5	=	3	+	5 فی	=	(11 + 5 √ 5)/2

   این راز "ترفند" است. دو مقدار مختلف N را انتخاب کنید و آنها هم PHI هستند و هم با یکدیگر برابر هستند! در اینجا یک ماشین حساب اعداد فیبوناچی و لوکاس وجود دارد که این عبارات را نیز برای شما ایجاد می کند. روی "Amade Me!" کلیک کنیددکمه و مثال جدید را هر بار ببینید.

   تنوع پیچیده تری به نظر می رسد!

   اگر می خواهید آن را پیچیده تر کنید ، دو ستون را در جدول انتخاب کنید ، یکی برای عبارت اول و دیگری برای دوم. در اینجا یک مثال آورده شده است:

   در مثال جدید فوق ، من دو موقعیت مختلف را انتخاب کردم: 5 برای عبارت اول و 10 برای دوم ، که همیشه باید یکنواخت باشد. برای اولین عبارت با موقعیت = 5 ، سپس از فیبر (5) = 5 و لوکاس (5) = 11 استفاده می کنم. برای دوم ، با موقعیت 10 ، از فیبر (10) = 123 و لوکاس (10) = 55 استفاده می کنم. این موقعیت دوم همیشه باید از تعداد BR استفاده کند. بشر

   فقط دو مجموعه مقادیر خود را جایگزین کنید: N ، Lucas (N) و FIB (N) ؛k (یک عدد یکنواخت!) ، لوکاس (k) و فیبر (k) در هر عبارتی مانند این ، مراقبت از این که دو مجموعه اعداد خود را مخلوط نکنید:

    

   به یاد داشته باشید که عبارت اول همیشه در داخل علامت ریشه وجود دارد و دوم همیشه دارای منهای (-) در داخل و مقدار دوم است ، K باید یکنواخت باشد.

    

   چرا کار می کند؟

   پیشنهادات را در بخش تحقیقات زیر دنبال کنید و راز فاش می شود!

   شما ریاضیات را انجام می دهید.

   1. شروع با قانون فیبوناچی phi n = phi n-1 + phi n-2
      1. آن را با phi n تقسیم کنید
      2. سپس آن را با Phi N ضرب کنید تا یک قانون برای اضافه کردن دو قدرت PHI برای به دست آوردن بعدی بدست آورید: Phi N = PHI.+ فی. بشر
      3. برای مثبت N ، آن را بازنویسی کنید تا بزرگترین قدرت PHI را در یک طرف معادله قرار دهید و بررسی کنید که دارید:

      phi 0	=	1
      فی 1	=	پستان	اکنون این ردیف را در بالا تفریق کنید:
      فی 2	=	1		پستان	و باز هم ، کم کردن این ردیف در بالا از قسمت بالا:
      PHI 3	=	.	+	بشرپستان	و دوباره.
      فی 4	=	.		بشرپستان	و دوباره.
      PHI 5	=	.	+	بشرپستان

      1	=	1	=	(2)/2
      پستان	=	پستان	=	(5 - 1)/2
      فی 2	=	1		پستان	=	( - 5 √ 3)/2
      PHI 3	=	1	+	2 PHI	=	(2 √ 5 - 4)/2
      فی 4	=	2		3 PHI	=	(-3 √ 5 + 7)/2
      PHI 5	=	3	+	5 فی	=	(5 √ 5 - 11)/2

      ( PHI) 0	=	1	=	(2)/2
      (-PHI) 1	=		پستان	=	(1 - 5 √)/2
      (-PHI) 2	=	1		پستان	=	(3 - 5)/2
      (-PHI) 3	=	1		2 PHI	=	(4 - 2 √ 5)/2
      (-PHI) 4	=	2		3 PHI	=	(7 - 3 √ 5)/2
      (-PHI) 5	=	3		5 فی	=	(11 - 5 √ 5)/2

      ( phi) n = ( phi) n-1 + ( phi) n-2 قانون فیبوناچی ( phi) n = f (n-1)-f (n) phi = (l (n)-f(n) 5 √)/2

      با تشکر از R S (Chuck) Tiberio از Wellesley ، MA ، USA بخاطر اینکه روابط اساسی را که به این ترفند بستگی دارد به من نشان داد. او یکی از حل کننده های مشکل اصلی بود که می توانید در آن پیدا کنید: مشکل 402 در مجله ریاضیات کالج ، جلد. 21 ، شماره 4 ، سپتامبر 1990 ، صفحه 339.

      برای یک مجموعه هویت غیرممکن مشابه به نظر می رسد: هویت های باورنکردنی توسط D Shanks در فیبوناچی فصلنامه جلد 12 (1974) صفحات 271 و 280.

      2 ، 1 ، 3 ، 4 ، 7 ، 11 ، 18 ، 29 ، 47 ، 76 ، 123 ، 199 ، 322 ، 521 ، 843 .. More ..

      تعداد لوکاس در مثلث پاسکال

      ما پیدا کردیم که اعداد فیبوناچی به عنوان مبالغی از "موربها" در مثلث پاسکال در الگوهای ریاضی در صفحه شماره فیبوناچی ظاهر می شوند. ما همچنین می توانیم شماره های لوکاس را در آنجا نیز پیدا کنیم.

      در اینجا شکل جایگزین مثلث پاسکال که در بالا به آن اشاره کردیم ، با مورب ها که به عنوان ستون مجدداً تراز شده اند و مبالغ ستون های جدید شماره های فیبوناچی هستند:

      برای به دست آوردن اعداد لوکاس ، ما هنوز هم ستون ها را اضافه می کنیم ، اما به هر عدد در ستون ابتدا با شماره ستون آن ضرب می شویم و بر اساس شماره ردیف آن تقسیم می شویم! یک مثال در اینجا آورده شده است:- بیایید ستون سوم را بگیریم که پس از چند برابر و تقسیمات مناسب باید به L (3) که 4 است جمع شود.، در این حالت ، تعداد زیادی را تغییر نمی دهد! شماره دیگر در ستون 3 2 در ردیف 2 است ، بنابراین این بار ما داریم: توجه داشته باشید که برای تمام اعداد موجود در یک ستون ، ما همیشه با همان عدد ضرب می شویم - شماره ستون برای همه آنها یکسان است - اماتقسیم کننده ها هر بار تغییر می کنند. با افزودن اعدادی که برای این ستون به دست آورده ایم ، 1+3 = 4 داریم که سومین شماره لوکاس L (3) است.< Span> در اینجا شکل جایگزین مثلث پاسکال است که ما در بالا به آن اشاره کردیم ، با مورب ها که به عنوان ستون ها مجدداً تراز شده اند و مبالغ ستون های جدید شماره های فیبوناچی هستند: