توالی فیبوناچی

Leonardo Pisano ، یا "Fibonacci" ، دانشجوی خودپرداز هنر متکلمان یونانی و ریاضیدان فیثاگوراس (حدود 569-475 پیش از میلاد) بود ، که اصطلاح "ریاضیات" را ابداع کرد (μάθημα ، ατος ، τo ، آنچه که آموخته است) برای نشان دادن آن علم انتزاعی که شکل ، کمیت و فضا را مطالعه می کند (Donnegan 26). فیثاگوراس در درجه اول به جای استفاده از اعداد برای محاسبات روزمره (O'Shea) به تئوری های شماره و کاربرد آنها در موسیقی علاقه مند بود. ریاضیدان یونانی اقلیدس نیز تا حد زیادی روی فیبوناچی تأثیر گذاشت. همانطور که قبلاً برجسته شد ، سیزده کتاب وی (فصل) در مورد هندسه در عناصر (حدود 300 سال قبل از میلاد) تعاریف ، فرضیه ها و بدیهیات هندسه را ارائه می داد که فیبوناچی به خوبی می دانست. عناصر توسط بسیاری از علمی ترین کار ریاضی تا قرن بیستم ("اقلیدس") در نظر گرفته می شوند."حتی امروز بخش بزرگی از آموزش ابتدایی ریاضی و هندسی مبتنی بر سنت اقلیدسی است" ("اقلیدس").

مدتها قبل از فیثاگوراس یا اقلیدس ، انسان با "خراشیدن علائم تالی بر روی چوب یا استخوان" شمارش را ثبت کرد (Devlin ، Man 13). از آن زمان ریاضیات بسیار تکامل یافته است. امروز ، معادلات ریاضی چنان ناعادلانه توسط رایانه ها محاسبه می شوند که بیشتر مردم تمایل دارند در مورد ریاضیات فکر کنند "فقط در متن روز که خودشان غوطه ور هستند" (رادفورد).

یکی از اولین اثبات تمرین مهارت های ریاضی ، پاپیروس است که توسط یک کاتب مصری به نام احمس (1650 پوند پیش از میلاد) نوشته شده است ، که "سری 87 تمرین و مشکل را ثبت کرده است ، احتمالاً برای دانش آموزان برای کمک و راهنمایی یک معلم تلاش می کند"(لوی 21).

مفهوم "هیچ چیز" در ریاضیات ممکن است ابتدا توسط یک نقطه برای نشان دادن یک مکان خالی خالی نشان داده شود ، اما صفر برای اولین بار در قرن هفتم (به عنوان یک مفهوم صرف) توسط ریاضیدان و ستاره شناس هند ، براهمگپتا ، به عنوان یک عدد استفاده شد. که همچنین قوانینی را برای استفاده از آن به عنوان یک عدد تدوین کرده است (لوی 93). از آنجا که ایده هیچ چیز در دین و فلسفه اولیه هند مهم نبود ، برای آنها بسیار طبیعی تر بود که نمادی را برای آن نسبت به سیستم های لاتین (رومی) و یونانی (نات ، "مختصر") اتخاذ کنند. بنابراین ، صفر در هند برای افزودن ، تفریق و ضرب استفاده شد اما تقسیم نشده است. مفهوم تقسیم چیزی توسط "هیچ چیز" حتی برای براهماگوپتا درخشان نیز دشوار بود (لوی 93).

ریاضیدانان اسلامی در مصر ، مانند ابو کامیل (حدود 850 - ج. 930 میلادی) ، "پیشرفت های مهم اما فقط پیشرفته" در توسعه جبر ، به ویژه استفاده از نسبت طلایی (Sesiano) تولید کردند. چنین پیشرفت های افزایشی ممکن است انقلابی نباشد ، اما لازم بود که ریاضیدانان بعدی (مانند فیبوناچی) برای پیشبرد موفقیت های بزرگ ریاضی بعدی (Livio 91) پیش بروند.

Suleimān بازرگان ، یک معامله گر مشهور عرب قرن نهم ، ممکن است نمادهای هندو-عربی (از جمله صفر شماره) را به بازارهای اروپایی معرفی کرده است ، و "Aboo" L-Asan ‛alī almas‛ūdī (د. 956 میلادی) بغداد به دریای چین در شرق ، تا جنوب زنگبار و به اقیانوس اطلس در غرب سفر کرد. او از نه چهره ای که هندوها حساب می کردند صحبت می کند (اسمیت و کارپینسکی). بنابراین ، ریاضیدانان اسلامی ممکن است تعداد صفر را از هند آموخته باشند اما "نتوانستند از آن در جبر استفاده کنند."صدها سال بعد ، فیبوناچی نیز صفر مانند سایر اعداد را در نظر نگرفت. در عوض ، او از آن به عنوان سمبل در کتاب خود Liber Abaci (Levy 93) یاد کرد.

تمبر اتحاد جماهیر شوروی محمد بن موسی الخاریزمی ، 1983

فیبوناچی تحصیل کرده و (البته) مسلط به لاتین ، مجموعه ای از قوانین الكاریزمی را برای محاسبه حسابی عربی در كتابی كه بعداً به لاتین ترجمه شده بود ، مورد مطالعه قرار داد و با توجه به این عنوان ، Algoritmi de Numero Indorum (در مورد هنر هندو)(دابلین ، مرد 24). برای اولین بار در معرض این کتاب یا در بوگیا یا شاید هنگام مسافرت به مدیترانه ، این امر تا حد زیادی بر درک و عملکرد فیبوناچی از حسابی هندو-عربی تأثیر گذاشت.

اگرچه کمیل و الخاریزمی در جهان عربی ریاضیدانان به دست آوردند و برخی در اروپا از استراتژی های حسابی خود آگاه بودند ، اما یک انقلاب تجاری در آن زمان از بغداد پدیدار نشد زیرا تجارت گرایی غربی "هنوز به اندازه کافی برای روشهای جدید توسعه نیافته بود. تأثیر گسترده "(Devlin ، Finding 32).

در حقیقت ، در اوایل قرن دوازدهم ، کتابهای دیگری که توضیحات هنر هندو را توضیح می داد ، نوشته شده بود ، اما اعداد جدید با اشتیاق پذیرفته نشده بودند. با این حال ، به آرامی ، بازرگانان و بانکداران ایتالیایی که در ابتدا با اعداد ناآشنا مخالف بودند و روش های جدید محاسبه سرانجام مزایای آن را نسبت به روش سنتی استفاده از اعداد رومی درک کردند. به عنوان مثال ، انتقال به ریاضیات جدید ، نیاز به شمارش تابلوها و سایر وسایل اولیه تجارت و بانکداری را از بین برد. از جمله این موارد ، استفاده اولیه از چوبهای تالی بود. ارزش پول یک وام بر روی یک چوب تالی نوشته شده است که به دو صورت تقسیم شده است. وام دهنده بزرگترین قطعه - سهام - تبدیل به "سهامدار" (SEIFE 81) را نگه داشت.

جامعه به دلایل زیادی تمایلی به اتخاذ سیستم حسابی هندو-عربی نداشت ، که تنها تعداد معدودی از آنها در اینجا ذکر خواهد شد. شاید مهمترین آن بیزاری طبیعی انسان برای تغییر باشد. اعداد رومی به اندازه کافی با دستگاه های شمارش باستانی و Abaci برای هزاره کار کرده بودند. آنها نیاز به افزودن ، تفریق و ضرب را برآورده کرده بودند. علاوه بر این ، توضیحات کمی برای موفقیت در کار با یک چرتکه لازم بود (با این وجود ، به ویژه هنگام ضرب سفارشات مختلف اعداد) (اسمیت و کارپینسکی) ، به طور گسترده ای برای دستیابی به استفاده از آن لازم بود.

دلیل دیگر این است که اختلافات اجتماعی بین تعصبات (طرفداران چرتکه) و الگوریست ها (کسانی که طرفدار استفاده از اعداد هندو-عربی بودند) سیستم جدیدتر و کارآمدتر را از سال سالها به تصویب جهانی می بردند. در حقیقت ، رهبران "بازرگانان" تعداد رومی را در طول قرون وسطی نشان می دادند ، و این نشان می دهد که [برخی] به طرز حیرت انگیزی چابکی باقی مانده اند "(لوی 117).

دانشگاه های تازه تأسیس گاهی اوقات نسبت به الگوریسم متناقض بودند اما مانع قدرتمندتر برای انتشار روش ریاضی هندو-عربی اقتدار مدنی بود. در اواخر قرن سیزدهم ، استفاده از اعداد جدید توسط دولت های محلی در چندین شهر ایتالیا ممنوع بود. به عنوان مثال ، فلورانس در سال 1299 ، اساسنامه هایی را تصویب کرد که باعث ممنوعیت اصناف (بانکداران) از استفاده از اعداد عربی (Levy 117) می شود. به همین ترتیب ، اساسنامه دانشگاه پادوا برای نگه داشتن لیست قیمت کتابها "غیر cifras ، SED در هر لیتر کلاروس" (به راحتی ترجمه شده ، "نه در تعداد بلکه به وضوح در حروف") (اسمیت و کارپینسکی). این بخش عمده ای بود زیرا اعداد کتبی به راحتی می توانند تغییر یا جعل شوند. به عنوان مثال ، یک شکوفایی ساده از یک قلم می تواند صفر را به 6 یا 9 تبدیل کند. اعداد رومی به راحتی تغییر نکردند. به عنوان مثال 10 توسط حرف X نشان داده شده است. بنابراین ، بانکداران سفارشات پول را با کلمات ثبت کردند ، بنابراین ، این عملی است که ما هنوز هنگام نوشتن چک امروز از آن استفاده می کنیم (Ghusayni 84).

فیبوناچی مزایای صفر و سایر اعداد عربی را تشخیص داد. او می دانست که این مزایا از خطرات فراتر رفته است. بازرگانان ایتالیایی که با او موافقت کرده اند ، حتی در صورت ممنوع بودن ، همچنان از آنها استفاده می کنند (Seife 81). علاوه بر این ، گسترش یک انجمن تجارت بدون پول (از طریق صدور صورتحساب مبادله و چک) ، و رشد محاسبه بهره باعث می شود بانک های کاملاً عملی روش جدید محاسبه شده توسط فیبوناچی را بپذیرند. در پایان ، دولت ها به فشار تجاری متوسل شدند و نماد عربی در ایتالیا شکوفا شد و به زودی در سراسر اروپا گسترش یافت (سیف 81).

Contesa di Matematica: Abacists Vs. الگوریست

تعطیل گرایان (گاهی اوقات ابکیست های طلسم) افرادی بودند که ترجیح می دادند از اعداد سنتی رومی و ابزارهای مکانیکی (Abaci ، تابلوها یا پارچه های با الگوی چتری) استفاده کنند تا حسابی را انجام دهند ، و الگوریست ها افرادی بودند که نشانه های نوشتاری ، نمادین هندو-عربی را در آغوش می گرفتند. ارزش مکان (از جمله صفر) و با استفاده از روش های الگوریتمی یا فرمول ها (Levy 112) محاسبه می شود. بیشتر الگوریست ها از استفاده از چرتکه چشم پوشی کردند.

تصویری در کتاب فیلسوف گرگور ریزچ ، Margarita Philosophica (مروارید خرد) (1503) مبارزه بین روشهای سنتی و مدرن حسابی را به تصویر می کشد. حکاکی چوبی با عنوان "تمثیل حسابی" ، رقابت بین کسانی را که طرفدار شماره رومی بودند و به سنت (استفاده از چرتکه) و کسانی که روش الگوریتمی را اتخاذ کرده بودند ، نشان می دهد و روی قلم و کاغذ محاسبه می شود. آگهی های دارای برچسب "Boetius" و "Pythagoras" مردان موجود در تصویر را شناسایی می کنند. محقق یونان باستان فیثاگوراس (حدود 500 پیش از میلاد) در سمت راست در تصویر با اخم نگران ، با استفاده از یک هیئت شمارش نشان داده شده است. او نماینده ابکیست ها است. در سمت چپ ، فیلسوف رومی Boethius (حدود 500 میلادی) به نظر می رسد که از اعداد هندی-عربی استفاده می کند و نماینده الگوریست ها است ("فیبوناچی" مشهور ؛ "اختلاف").

چوب کلاسیک Arithmetica (یا تمثیل حسابی) نظارت بر یک مسابقه بین Boëthius ، نمایانگر محاسبه کتبی با استفاده از اعداد هندو-عربی ، و فیثاگوراس ، که به عنوان با استفاده از یک صفحه شمارش ارائه شده است.

البته ، هیچ یک از این مردان در طول عمر Reisch (1467 - 1525 میلادی) زنده نبودند. در حقیقت ، تقریباً 1000 سال بین طول عمر دو فیلسوف باستان می گذرد و 1000 سال دیگر بین ریزچ و بیتیوس گذشت! تصویر چوبی آناکرون است ، متعلق به زمانی غیر از آنچه که آن را به تصویر می کشد ، و شخصیت های موجود در صحنه نمادهایی هستند که ایده ها را نشان می دهند. می توان گفت چوب چوب نوعی اینفوگرافیک قرون وسطایی است.

بین دو مخالف ریاضی ، موزه حسابی ، حسابی را پوشانده و لباس آراسته شده با اعداد عربی پوشیده است. دکوراسیون لباس او و نگاه مطلوب او به چهره Boethius نشان می دهد که تا پایان قرن چهاردهم ، الگوریسمی به طور فزاینده ای محبوب تر می شد (O'Shea ؛ O'Connor و Robertson). در حالی که بین 1400 تا 1700 ، در نهایت غالب شد.

اتخاذ ریاضیات جدید توسط سیستم های اقتصادی اروپا کمترین حرف را زد. اگر در یک چوب چوب در کتاب Reisch به تصویر کشیده شده باشد ، ممکن است یک لاک پشت سرگرم کننده باشد ، در حالی که گسترش اعداد هندو و عربی در محافل دانشگاهی یک خرگوش اسپرینت خواهد بود. فیبوناچی از سیستم عددی هندو-عربی الخوریزمی و کمیل در لیبری اوباچی قهرمان شد ، که اکنون به عنوان "کار اصلی در انتقال به غرب اعداد هندو-عربی و چگونگی اضافه کردن ، افزودن ، تعدد و تقسیم با آنها تلقی می شود.. "حتی تأثیرگذارتر از دائر ycl المعارف لیباسی ، هضم کوچکتر و در دسترس او ، Libro di Minor Guise (کتاب به روشی کوچکتر) بود که به طور گسترده در بین بازرگانان پخش می شد و بارها توسط معامله گران ، بازرگانان و بانکداران کپی می شد (LEVY 117).

با وجود فیبوناچی که نشان می دهد اعداد عربی برای انجام محاسبات پیچیده چقدر مفید بودند ، چاپخانه هنوز اختراع نشده بود. بنابراین ، دانش به آرامی ، در بیشتر مواقع ، در قرون وسطی گسترش می یابد."پاپ و شاهزاده ها و حتی نهادهای بزرگ مذهبی دارای کتابهای بسیار کمتری نسبت به بسیاری از کشاورزان عصر فعلی" (اسمیت و کارپینسکی). با این وجود ، مانند اکثر نوآوری ها و استراتژی هایی که سودآوری را کارآمدتر می کند ، کاربردهای عملی در کتابهای فیبوناچی نمی تواند کمک کند اما مانند آتش سوزی در جعبه Tinder از اقتصاد بازار که در جهان غرب توسعه یافته بود ، گسترش یابد.

برخی از مورخان ادعا کرده اند که رساله های مربوط به الگوریسم توسط دیگران ، مانند کارمن د الگوریسم توسط الکساندر د ویلا دی (حدود 1240 میلادی) و الگوریسم و ولگریس توسط جان هالیفاکس (ساکروبوسکو ، س. 1250 مدیرعامل) بسیار بیشتر و بیشتربه طور گسترده ای از فیبوناچی استفاده می شود و "بی شک بیشتر در گسترش اعداد در بین مردم عادی نقش داشته است" (اسمیت و کارپینسکی ؛ "انتقال"). با این حال ، تحقیقات جدیدتر صدها نسخه خطی به نام Libri d'Abbaco ("کتاب های Abbacus") یا Trattati d'Abbaco ("تراکت های Abbacus") را کشف کرده است که به وضوح به آزادی Liber Liber Liber به عنوان "اسلحه" یا "جرقه ای که روشن می کند ، اشاره داردآتش سوزی دنیای تجاری مدرن "در اواخر قرون وسطی" زیرا این یک منظره بسیار قابل احتراق بود "، که در حال حاضر گسترش سریع تجاری را تجربه می کرد (Devlin Finding 25 ، 27 ، 33).

اکنون ممکن است غیرقابل تصور به نظر برسد که جهان غرب از تصویب اعداد جدید که توسط لئوناردو پیسانو "کاملاً" پذیرفته شده بود ، گرفت. آنها کاملاً آشکارا نسبت به روشهای محاسبه برتر بودند که در اروپای مسیحی رواج داشتند! در اصطلاحات بیست و یکم ، Liber Abaci از فیبوناچی ابزار جدید اختلال در بازار بود زیرا در یک بخش بازار نوظهور (تجارت بین المللی) که توسط ابزارهای موجود (اعداد رومی و چرتکه) در صنعت محروم شده بود ، مناسب بود.

در ابتدا ، و مطمئناً در حالی که او زنده بود ، آثار فیبوناچی در ایتالیا به شدت مورد مطالعه و قدردانی قرار گرفتند. کپی از بخش های عملی "اقتصادی" کتاب توسط هزاران نفر نوشته شده و توزیع شده است ، احتمالاً نه تنها توسط بازرگانان و بازرگانان بلکه توسط دانش آموزانی که در بسیاری از مدارس بومی ایتالیایی شرکت می کنند که ناگهان در نیمه دوم قرن سیزدهم ظاهر شدند. ریاضیات تجاری (Abbaco) و مهارت های پیچیده حسابداری علاوه بر ادبیات در این مدارس تدریس می شد. بنابراین ، Liber Abaci نه تنها بر تعداد زیادی از تراکت های حسابی (Trattati d’Abaco) که پس از Liber Abaci منتشر شد ، تأثیر گذاشت ، بلکه مدارس Abbaco که در قرن چهاردهم شکوفا شدند ("آموزش).

اعداد فیبوناچی چیست؟

بزرگی اندازه Liber Abaci ، کپی کردن در کلیت آن تقریباً غیرممکن (مطمئناً غیر عملی) بود. نسخه انگلیسی Liber Abaci (ترجمه ای که توسط لورنس سیگلر آمریکایی آغاز شده است و پس از مرگ توسط همسرش ، جوآن تکمیل شده است) ، "بیش از 600 صفحه دارد که در یک نوع نسبتاً کوچک قرار دارند. نمونه هایی از این موارد است که بیشتر صفحات را اشغال می کند. »(Devlin ، Finding 88). این کتاب با توضیحات و تصاویر در مورد چگونگی نوشتن و دستکاری اعداد هندو-عربی آغاز شد ، سپس فیبوناچی اقدام به تهیه مکانیک اصلی حسابی هندو-عربی کرد ، که او "با استفاده از (بسیاری) با استفاده از (بسیاری) نمونه های عددی خاص ، دقیقاً مانند آن را توضیح می دهد. نحوه تدریس دانش آموزان مدرسه ابتدایی امروز (Devlin ، Finding 116). در فصل های موفق ، وی نمونه های دنیای واقعی را تهیه کرد و روشهای ارزشمندی را برای حل مشکلات خاص مربوط به تجارت و شرکت ها نشان داد. فصل دوازدهم ماموت شامل 259 نمونه کار شده (در ترجمه سیگلر ، این فصل 187 صفحه چاپ شده را پر می کند) (Devlin ، Finding 119).

فیبوناچی اعداد عربی را در لیبرت Abaci با بیانیه ساده معرفی کرد: "نه چهره هندی عبارتند از: 9 8 7 6 5 4 3 2 1."وی سپس ادعا كرد كه ، با این نه چهره ، و با علامت 0 ... هر عدد ممكن است نوشته شود (هورام). لئوناردو اظهار داشت که بیشتر مردم علاقه چندانی به مشکلات نظری و انتزاعی ندارند. آنها به برنامه های عملی علاقه مند هستند. بنابراین ، لئوناردو "به دنبال راه هایی برای لباس پوشیدن انتزاع در لباس های آشنا و روزمره بود."او از "ریاضیات تفریحی" برای معرفی اعداد عربی و سیستم اعشاری با ارزش هندو-عربی به اروپا استفاده کرد (Devlin ، Man 69 ؛ O'Connor و Robertson). از آنجا که او به طور گسترده سفر کرده بود و می دانست که "بسیاری از شهروندانش مکرر مسافر هستند" ، لئوناردو معتقد بود که مشکلات پول در مورد مسافرت مطمئناً علاقه گسترده ای را به خود جلب می کند ، بنابراین اینها نمونه های بعدی وی را تشکیل می دهند. وی برای اولین مشکل مسافر خود نوشت: مرد خاصی که برای کسب سود به لوکا می رود تا سود خود را دو برابر کند ، و او 12 دناری را در آنجا خرج کرد. او سپس رفت و از طریق فلورانس رفت. او در آنجا پول خود را دو برابر کرد و 12 دناری را خرج کرد. سپس به پیزا بازگشت ، پول خود را دو برابر کرد و 12 دناری را خرج کرد و پیشنهاد می شود که او در پایان چیزی باقی نمانده است. به دنبال این است که او در ابتدا چقدر داشت (دابلین ، یافتن 124). مباحث دیگر که توسط لئوناردو در Liber Abaci خطاب شده است عبارتند از: ضرب و علاوه بر این. منها کردن؛تقسیم ؛کسریوظایف و قوانین عملی برای تجارت و پول ؛حسابداری ؛ریشه های درجه دوم و مکعب ؛معادلات درجه دوم؛binomials ؛تناسب، قسمت؛قوانین جبر ؛بررسی محاسبات با ریختن نونه ؛پیشرفت ؛و جبر اعمال شده ("زندگی نامه").

مشکل خرگوش

در صفحات 123-4 از نسخه دوم زنده مانده 1228 "یک خانواده نظری از خرگوش های" Abracadabric "که در ذهن قرار گرفته اند" بود ، ریاضیدان جوان و درخشان بود (خطوط 6 ، 19). این مشکل منجر به معرفی شماره های فیبوناچی و دنباله فیبوناچی می شود که امروز لئوناردو به بهترین وجه به یاد می آید. وی پازل زیر را ارائه داد (پاراگراف):

یک مرد خاص یک جفت خرگوش تازه متولد شده ، یک مرد ، یک زن ، را در یک باغ محاصره شده توسط یک دیوار قرار داد. خرگوش ها قادر به جفت گیری در سن یک ماه هستند به طوری که در پایان ماه دوم خود یک زن می تواند یک جفت خرگوش دیگر تولید کند. اگر خرگوش ها هرگز نمی میرند و اگر هر ماه هر جفت یک جفت جدید را که از ماه دوم تولید می شود ، چه تعداد از خرگوش ها را می توان از آن جفت تولید کرد؟وی سپس توضیح داد: "از آنجا که جفت فوق در ماه اول به دنیا می آید ، می توانید آن را دو برابر کنید تا بعد از یک ماه دو جفت وجود داشته باشد. از این تعداد ، یکی ، یعنی اول ، در ماه دوم به دنیا می آید. و بنابراین در ماه دوم سه جفت وجود دارد. دو نفر از آنها در یک ماه دوباره باردار می شوند ، به طوری که در ماه سوم دو جفت خرگوش به دنیا می آیند. و بنابراین در این ماه پنج جفت خواهد بود. از این تعداد ، سه نفر در همان ماه باردار می شوند ، بنابراین در ماه چهارم هشت جفت وجود دارد. از این تعداد ، پنج زوج دوباره پنج جفت دارند. اگر آنها را به هشت جفت اضافه کنید ، سیزده جفت در ماه پنجم وجود دارد. از این تعداد ، پنج زوج متولد شده در این ماه در همان ماه جفت نمی شوند ، اما هشت زوج دیگر باردار می شوند. و به همین ترتیب در ماه ششم بیست و یک جفت وجود دارد. اگر به این سیزده زوج که در ماه هفتم متولد می شوند ، اضافه کنید ، سی و چهار زوج در این ماه حضور خواهند داشت. اگر به این بیست و یک جفت متولد شده در ماه هشتم اضافه کنید ، پنجاه و پنج جفت در این ماه برگزار می شود. اگر به این سی و چهار جفت متولد شده در ماه نهم اضافه کنید ، هشتاد و نه جفت در این ماه برگزار می شود. به این پنجاه و پنج جفت متولد شده در ماه دهم و این ماه 144 جفت خواهد بود.

>اضافه کردن به این هشتاد و نه جفت متولد ماه یازدهم 233 جفت در این ماه خواهد بود. و اگر سرانجام به این 144 جفت که ماه گذشته متولد شدند ، اضافه کنید ، در پایان 377 جفت وجود دارد. و بنابراین بسیاری از زوج ها زوج فوق الذکر را در مکانی که در پایان سال شرح داده شده به دنیا می آورند "

ما فرض می کنیم: 1. اینکه یک جفت خرگوش هر ساله یک جفت کودک دارند. 2. این کودکان خیلی جوان هستند که تا دو سال بعد فرزندان خود را داشته باشند. 3. خرگوش ها هرگز نمی میرند. اپشتین مشاهده می کند که آخرین فرض غیرواقعی است اما مسئله را ساده تر می کند: "بعد از اینکه نسخه ساده تر را تجزیه و تحلیل کردیم ، می توانیم به عقب برگردیم و فرضیه اضافه کنیم. این خرگوش ها در ده سال می میرند ، اما این رفتار کلی مسئله را خیلی تغییر نمی دهد. "

سپس ما تعداد جفت خرگوش ها را به عنوان تابعی از زمان بیان می کنیم (از زمان شروع آزمایش به عنوان چند سال اندازه گیری می شود) (Eppstein):

f (1) = 1 - ما با یک جفت f (2) = 1 شروع می کنیم - آنها خیلی جوان هستند که سال اول را دارند (3) = 2 - در سال دوم ، آنها یک جفت کودک دارند (4) = 3 - در سال سوم ، آنها یک جفت دیگر F (5) = 5 دارند - ما اولین مجموعه نوه ها را می گیریم

مشکل "توالی فیبوناچی" را به همراه دارد: 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، 377. وادواد

Fibonacci omitted the first term (1) in Liber Abaci . The recurrence formula for these numbers is: F(0) = 0 F(1) = 1 F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) n>1. اگرچه فیبوناچی فقط دنباله را ارائه داد ، اما او بدیهی می دانست که تعداد نهم دنباله وی مجموع دو شماره قبلی (اسکاتا و بازار) است."این سکانس ، که در آن هر شماره مجموع دو شماره قبلی است ، در بسیاری از زمینه های مختلف ریاضیات و علوم ظاهر می شود" (O'Connor and Robertson).

فیبوناچی احتمالاً مشکل خرگوش را اختراع نکرده است بلکه شامل مواردی است که او خود را از مورها یاد گرفته است یا هنگام مسافرت (نات). او حتی ممکن است به "ترجمه های آثار الخوورایزم" توسط جرارد کریمنا (1114-1187 میلادی) اعتماد کرده باشد ، که دومی در یک تلاش بزرگ مستقر در تولدو ، اسپانیا پیشگام است تا آثار نوشته شده به عربی را به لاتین ترجمه کند.(مسیحی) اروپا "(اسکاتا و بازار). دنباله F (n) قبلاً توسط ریاضیدانان هندی شناخته شده و مورد بحث قرار گرفته بود "که مدت ها به الگوهای ریتمیک علاقه مند بودند که از نت های یک ضرب و شتم و دو ضرب و شتم شکل گرفته اند. تعداد چنین ریتمی هایی که دارای ضرب و شتم در کل هستند ، f (n+1) است. بنابراین هر دو Gospala (قبل از 1135) و Hemachandra (حدود 1150) شماره های 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ،… را صریح ذکر کردند.

"به نظر نمی رسد که خود فیبوناچی اهمیت زیادی برای آنها داشته باشد. به نظر می رسید مشکل خرگوش یک تمرین جزئی در کار او است. »(اسکاتا و بازار). تا قرن نوزدهم نبود که این دنباله به لطف کار ریاضیدان فرانسوی ادوارد لوکاس "اهمیت و شناخت عمده" را بر عهده گرفت. از آن زمان ، مورخان ریاضیات در مورد الهام واقعی این اعداد و اینکه آیا فیبوناچی کاملاً از اهمیت آنها (اسکاتا و بازار) آگاه است ، تعجب کرده اند. اگرچه فیبوناچی بسیاری از مباحث ریاضی را پوشش می داد ، اما او بیشتر به این سکانس شماره شناخته شده است که بعداً در سال 1838 توسط Guillaume Libri به نام وی نامگذاری شد و هنوز هم به طور فعال مورد بررسی قرار می گیرد ("مشکل خرگوش"). در حالی که "مشکل خرگوش" جالب است و کسی است که او امروز مشهورترین آن است ، اما به هیچ وجه تنها مشکل مهم ریاضی ارائه شده در لیبرت Abaci نیست. به عنوان مثال ، وام گرفتن یک سناریو از یک کتاب قرن نهم ، گانیتا سارا سنگرا ، توسط ماهاویرا (حدود 800-870) ، فیبوناچی به نفع کسانی که ممکن است بخواهند پول را بین دو یا دو یا تقسیم کنند ، مجموعه ای از "مشکلات کیف پول" را ارائه دادمردم بیشتری. از نظر روزمره ، وی قوانینی را برای توزیع مساوی و منصفانه چیزی (مانند پول) توضیح داد. اولین راه حل برای "مشکل کیف پول" نیمی از صفحه perchment را پر کرد و سپس او تغییرات پیچیده تری از همان مشکل را به همراه راه حل های آنها ارائه داد ، از جمله چگونگی توزیع همان مقدار پول در یک کیف پول که توسط سه مرد یافت می شود و نه دو نفر، یک کیف پول که توسط چهار مرد یافت شد ، و سرانجام یک کیف پول که توسط پنج مرد یافت شد. صفحات بعد ، فیبوناچی راه حل هایی برای هجده مشکل مختلف کیف پول داشت که هر کدام "پیچ و تاب منحصر به فرد و هر یک از اعداد کمی متفاوت" بودند.(دابلین ، یافتن 121).

کمک های ریاضی فیبوناچی

اول: اعداد

سیستم ارزش مکان نوشتن عددی به مراتب آسانتر از سیستم اعداد رومی مبتنی بر نامه است. موقعیت یک عدد میزان آن را در رابطه با سایر ارقام موجود در تعداد تعیین می کند (به عنوان مثال ، 1 در 19 ، رقم دوم در مکان "ده ها" ، یک مقدار ده برابر مقدار اسمی آن یا 10 1 1 را نشان می دهد). Fibonacci به بازرگانان و بازرگانان نحوه استفاده از سیستم ارزش مکانی حساب را نشان داد.

دوم: رقم و اعشار

برای قرن ها اروپا از سیستم اعداد رومی استفاده می کرد که در آن هفت نماد هفت ارزش مجزا را نشان می دادند. شماره رومی 2018 را می توان به صورت MMXVIII یا IIIXVMM نوشت - سفارش نامه مهم نیست زیرا مقادیر حروف اضافه می شوند تا این تعداد را تهیه کنند.

i = 1 v = 5 x = 10 l = 50 c = 100 d = 500 m = 1000

در سیستم هندو-عربی ، ترتیب اعداد همیشه اهمیت دارد زیرا موقعیت هر رقم مقدار آن را تعیین می کند. شماره 2018 با 8102 کاملاً متفاوت است. استفاده تجاری اجباری از نمادهای عربی - 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 - که در اروپا شناخته شده بود اما در تمرین روزمره اجرا نشده بود؛از همه مهمتر ، این سیستم عددی شامل نمادی برای صفر است. صفر به عنوان نگهدارنده مکان مورد نیاز است زیرا تضمین می کند که ارقام در مکان های مناسب آنها (ستون ها) قرار می گیرند. به عنوان مثال،2009 ده ها و صدها نفر ندارد. سیستم رومی سال 2009 را به عنوان MMIX نوشت و مقادیر مورد استفاده را حذف نمی کرد. حسابی رومی آسان نبود ؛به عنوان مثال ، MXVII اضافه شده به LI MLVIII و XLI LEST IV XXXVII است (نات ، "مختصر"). در Liber Abaci (1228) ، فیبوناچی در هنگام مسافرت با تجارت ، مطالعه الگوریسم را به طور گسترده تأیید کرد. او به خانه در ایتالیا ، او با شور و شوق قوانین حسابی را که از ریاضیدانان عرب آموخته بود ، آموخت و اولین نمایشی منظم از سیستم اعشاری در اروپا را ارائه داد (نات ، "مختصر").

فیبوناچی و جبر

فیبوناچی در حالی که نشان می دهد توانایی ریاضی خود در حین ارائه به دادگاه Pisan امپراتور فردریک در سال 1225 ، توضیح داد که چگونه او مشکل جبری دیوفانتین زیر را حل می کند: X3 + 2 × 2 + 10x = 20 را حل کنید. کار نمی کند ، فیبوناچی از "یک روش اصلی از خودش استفاده کرد و جواب خود را در نماد جنسی (بابل) داد. تقریب او به مراتب دقیق تر از معاصران عرب خود بود. "و مخاطبان را متحیر کرد (هورام). به زودی پس از این مناسبت ، فیبوناچی رساله مختصر دیگری به نام Flos (1225) نوشت (گل ، نام غیر قابل توضیح از آنجا که هیچ ارتباطی با گیاهان گلدار ندارد) ، توضیح داد که چگونه او به راه حل خود برای این مشکل جبر و دیگری رسیده است.

فیبوناچی قبل از نوشتن فلوس، رساله ای حاوی راه حل هایی برای معادلات جبری، Epistola ad Magistrum Theodorum و کتابی که امروزه ریاضیدانان مهم ترین کار او را در نظر می گیرند منتشر کرد: Liber Quadratorum، کتاب مربع ها (1225)، کتابی از نظریه اعداد که اوتقدیم به امپراتوراو در این کتاب خصوصیات مربع ها (مانند مجموع اعداد دو، سه یا چهار مربع یا کسرهای مربعی) و وظایفی را که منجر به معادلات درجه دوم می شوند (مک کلنون) شرح داده است. چیزی که دستاوردهای فیبوناچی را بیش از پیش چشمگیر می کند این واقعیت است که او مانند ما امروز از نماد جبری استفاده نمی کرد زیرا هیچ نماد جبری برای کمک به او نداشت. درعوض، او اعداد را به صورت هندسی به صورت پاره خطی نشان داد، درست مانند اقلیدس. با این حال، توصیفات او از فرآیندها و الگوریتم ها به طرز شگفت آوری واضح بود. مثلاً از عباراتی مانند res (چیز) برای x مجهول استفاده کرد و برای x2 quadratus numerus (عدد مربع) نوشت. مسئله زیر نمایانگر نوع محاسباتی است که او حل کرده و به گونه ای توضیح داده است که تقریباً از سایر نویسندگان کتاب ریاضی قبل از او برتری داشت: «عددی مربعی پیدا کنید که وقتی پنج از آن جمع یا تفریق شود، همیشه یک مربع به وجود می آید. عدد."همانطور که هورادام بیان می کند، "این واقعاً قابل توجه است که او تا چه حد می تواند با این تجهیزات ریاضی محدود پیشرفت کند. دستاوردهای او در این کتاب عادلانه او را به عنوان بزرگترین نماینده نظریه اعداد، به ویژه در تحلیل نامشخص، در قرون وسطی تأیید می کند» (هورادام، کتاب).