دنباله و سریال

دنباله و سری موضوعات اساسی در حساب هستند. مجموعه ای از عناصر که در آن تکرار از هر نوع مجاز است به عنوان یک دنباله شناخته می شود، در حالی که یک سری مجموع همه عناصر است. پیشروی حسابی یکی از نمونه های متداول دنباله و سری است.

• به طور خلاصه، یک دنباله فهرستی از موارد/اشیاء است که به صورت متوالی مرتب شده اند.
• یک سری را می توان به عنوان مجموع تمام عبارات در یک دنباله بسیار تعمیم داد. با این حال، باید یک رابطه مشخص بین تمام اصطلاحات دنباله وجود داشته باشد.

اصول را می توان با حل مسائل بر اساس فرمول ها بهتر درک کرد. آنها بسیار شبیه به مجموعه ها هستند، اما تفاوت اصلی این است که در یک دنباله، اصطلاحات فردی می توانند به طور مکرر در موقعیت های مختلف رخ دهند. طول یک دنباله برابر است با تعداد جمله ها و می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. این مفهوم به طور مفصل در کلاس 11 ریاضی توضیح داده شده است. با کمک تعریف، فرمول ها و مثال ها در اینجا قصد داریم مفاهیم توالی و سری را مورد بحث قرار دهیم.

فهرست مطالب:

تعریف سکانس و سریال

دنباله ترتیبی از هر شی یا مجموعه ای از اعداد در یک ترتیب خاص است که توسط یک قاعده دنبال می شود. اگر یک₁, a₂, a₃, a₄,………… و غیره بیانگر اصطلاحات یک دنباله است، سپس 1،2،3،4،….. موقعیت عبارت را نشان می دهد.

یک دنباله را می توان بر اساس تعداد عبارت ها تعریف کرد، یعنی دنباله محدود یا دنباله نامحدود.

اگر یک₁, a₂, a₃, a_4,……. یک دنباله است، سپس سری مربوطه توسط داده می شود

توجه: بسته به اینکه دنباله متناهی یا نامتناهی باشد، مجموعه متناهی یا نامتناهی است.

انواع سکانس و سری

برخی از رایج ترین نمونه های توالی عبارتند از:

• دنباله های حسابی
• دنباله های هندسی
• توالی هارمونیک
• اعداد فیبوناچی

دنباله های حسابی

دنباله ای که در آن هر جمله با جمع یا تفریق یک عدد معین به عدد قبل ایجاد می شود یک دنباله حسابی است.

دنباله های هندسی

دنباله ای که در آن هر جمله از ضرب یا تقسیم یک عدد معین با عدد قبل به دست می آید به عنوان دنباله هندسی شناخته می شود.

توالی هارمونیک

به مجموعه ای از اعداد گفته می شود که در دنباله هارمونیک هستند اگر متقابل همه عناصر دنباله یک دنباله حسابی تشکیل دهند.

اعداد فیبوناچی

اعداد فیبوناچی دنباله جالبی از اعداد را تشکیل می دهند که در آن هر عنصر با اضافه کردن دو عنصر قبلی به دست می آید و دنباله با 0 و 1 شروع می شود. دنباله به صورت F تعریف می شود.₀= 0 و F₁= 1 و F_n = F_n-1 + F_n-2

همچنین مشاهده کنید:

• برگه های دنباله و سری
• تفاوت بین دنباله و سری
• سکانس ها و کلاس 11
• سوالات مهم کلاس 11 ریاضی فصل 9 سکانس

فرمول های توالی و سری

لیست برخی از فرمول های اساسی پیشرفت حسابی و پیشرفت هندسی است

*در اینجا ، a = اصطلاح اول ، d = تفاوت مشترک ، r = نسبت مشترک ، n = موقعیت اصطلاح ، l = آخرین مدت

تفاوت بین توالی ها و سری ها

بگذارید دریابیم که چگونه یک دنباله می تواند با سری متفاوت باشد.

نمونه های توالی و سری

سوال 1: اگر 4،7،10،13،16،19،22 …… دنباله ای است ، پیدا کنید:

راه حل: دنباله با توجه ، 4،7،10،13،16،19،22 ……

الف) تفاوت مشترک = 7 - 4 = 3

ب) اصطلاح نهم دنباله حسابی با اصطلاح t مشخص می شود_nو توسط t داده شده است_n= a + (n-1) d ، که در آن "a" اولین اصطلاح و d تفاوت مشترک است. حرف_n= 4 + (n - 1) 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1 c) ترم 21 به عنوان: t₂₁= 4 + (21-1) 3 = 4 + 60 = 64.

سوال 2: دنباله 1 ، 4 ، 16 ، 64 ، 256 ، 1024 را در نظر بگیرید ... .. نسبت مشترک و مدت نهم را پیدا کنید.

راه حل: نسبت مشترک (R) = 4/1 = 4

اصطلاح قبلی برای به دست آوردن دوره بعدی با 4 ضرب می شود.

اصطلاح نهم دنباله هندسی با اصطلاح t مشخص می شود_nو توسط t داده شده است_n= AR (N-1) که در آن اصطلاح اول و R نسبت مشترک است.

در اینجا a = 1 ، r = 4 و n = 9

بنابراین ، دوره 9 می تواند به عنوان t محاسبه شود₉= 1* (4) (9-1) = 4 8 = 65536.

یادگیری در مورد مفاهیم ریاضی می تواند بسیار سرگرم کننده باشد. بارگیری BYJU - برنامه یادگیری و کشف راههای نوآورانه برای یادگیری ریاضی.

سوالات متداول

دنباله و یک سری به چه معنی است؟

یک دنباله به عنوان ترتیب اعداد به ترتیب خاص تعریف می شود. از طرف دیگر ، یک سری به عنوان مجموع عناصر یک دنباله تعریف می شود.

برخی از انواع متداول سکانس ها چیست؟

چند سکانس محبوب در ریاضیات عبارتند از:

• دنباله های حسابی
• دنباله های هندسی
• توالی هارمونیک
• اعداد فیبوناچی

توالی ها و سریال های محدود و نامتناهی چیست؟

توالی: یک توالی محدود دنباله ای است که شامل آخرین اصطلاح مانند a است₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆……a_n.از طرف دیگر ، یک دنباله بی نهایت بی پایان است یعنی a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆……a_n…..

سری: در یک سری محدود ، تعداد محدودی از اصطلاحات مانند یک نوشته شده است₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a_{6 +} ……a_nبشردر صورت وجود یک سری بی نهایت ، تعداد عناصر محدود نیست یعنی a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a_{6 +} ……a_n +_…..

نمونه ای از دنباله و سری را بیان کنید.

نمونه ای از دنباله: 2 ، 4 ، 6 ، 8 ،… نمونه ای از یک سری: 2 + 4 + 6 + 8 + ...

فرمول برای یافتن تفاوت مشترک در یک توالی حسابی چیست؟

فرمول برای تعیین تفاوت مشترک در یک توالی حسابی: تفاوت مشترک = اصطلاح پی در پی - مدت قبل.

چگونه توالی حسابی را نشان دهیم؟

اگر "A" اولین اصطلاح است و "D" تفاوت مشترک یک دنباله حسابی است ، پس توسط A ، A+D ، A+2D ، A+3D ،…

چگونه دنباله هندسی را نشان دهیم؟

اگر "A" اولین اصطلاح باشد و "R" نسبت مشترک یک دنباله هندسی است ، آنگاه دنباله هندسی توسط A ، AR ، AR 2 ، AR 3 ،…. ، AR N-1 ، ..

چگونه می توان سری حسابی و هندسی را نشان داد؟

سری حسابی توسط A + (A + D) + (A + 2D) + (A + 3D) +… سری هندسی توسط A + AR + AR 2 + AR 3 +… نشان داده شده است. + AR N-1+ ..