آزمایشگاه یادگیری

تصویر را باز کنید

بیاموزید که چگونه تعیین کنید که آیا دو خط سه بعدی همدیگر را قطع می کنند یا خیر و اگر چنین است، نقطه تقاطع آنها چیست؟

برای یافتن نقطه تلاقی دو خط در فضای سه بعدی، بهتر است هر دو معادله به صورت پارامتری باشند. این ماژول در مورد چگونگی تعیین اینکه آیا دو خط قطع می شوند یا خیر بحث می کند.

خطوط

معادله یک خط در فضای سه بعدی را می توان به صورت برداری، پارامتری یا متقارن نوشت. فرم برداری برای تعیین اینکه آیا دو خط همدیگر را قطع می کنند چندان مفید نیست. فرم پارامتریک برای این منظور ترجیح داده می شود.

فرم پارامتریک

معادلات پارامتریک خطی که از نقطه (left(x_, y_, z_

ight)) در جهت بردار (overrightarrow=ahat+bhat+chat) می گذرد:[x08egin x & =x_+at\ y & =y_+bt\ z & =z_+ct end] که در آن (tinmathbb) یک پارامتر نامیده می شود. توجه داشته باشید که (t) فقط یک عدد است. هیچ اهمیت فیزیکی ندارد و ممکن است هر نمادی باشد. اغلب (s) برای پارامتر استفاده می شود.

فرم متقارن

شکل متقارن خطی که از نقطه (left(x_, y_, z_

ight)) در جهت بردار (overrightarrow=ahat+bhat+chat) می گذرد:

تبدیل به فرم پارامتریک

یک خط به شکل متقارن ممکن است با تنظیم هر عبارت در معادله (left(1

ight)) برابر با پارامتر (sinmathbb.) به فرم پارامتریک تبدیل شود.

پیدا کردن محل تلاقی دو خط

ایده این است که هر یک از دو خط را به صورت پارامتریک بنویسیم. برای هر خط باید از پارامترهای مختلفی استفاده شود، مثلاً (s) و (t). اگر خطوط قطع شوند، باید مقادیر (s) و (t) وجود داشته باشد که نقطه یکسانی را در هر یک از خطوط نشان دهد. اگر اینطور نباشد، خطوط قطع نمی شوند.

رویکرد اساسی این است:

هر خط را به صورت پارامتریک بنویسید

معادلات همزمان پارامترها را حل کنید

اگر راه حلی وجود داشته باشد، خط را قطع می کنند، اگر نه، آنها را قطع نمی کنند.

مثال 1

نقطه تقاطع دو خط (L_) و (L_) را پیدا کنید که در آن (L_) خطی است که با معادله (frac=frac=frac) و (L_ نشان داده شده است.) خط (x=1+2s) است;(y=-4+s) ;(z=8-2s.)

راه حل.

خط (L_) قبلاً به شکل پارامتری است: [شروع x & =1+2s & left(2

ight)\ y & =-4+s & left(3

ight)\ z& =8-2s & left(4راست) end]

اکنون (l_ ) را به صورت پارامتری می نویسیم. تنظیم 1 1 به عنوان (l_ ) با استفاده از پارامتر (s ) ما یک پارامتر (t ) را در آنچه در زیر آمده است انتخاب می کنیم. فرقی نمی کند از چه چیزی استفاده کنید اما باید با (s. ) [ شروع frac & = t \ frac & = t \ frac & = t. end ] تنظیم مجدد ما به دست می آوریم [ شروع x & = 5+t & سمت چپ (5 راست) \ y & = 1-t & سمت چپ (6 راست) \ z & = 8-3t & چپ (7 راست) پایان ]

برای یافتن نقطه تقاطع این دو خط ، باید یک نقطه (P ) پیدا کنیم که در هر دو خط قرار دارد.

در نقطه تقاطع ، مختصات برای (L_ ) مختصات را برای (L_ ) برابر می کند. این بدان معنی است که مقادیر (s ) و (t ) وجود دارد به گونه ای که (x ، ) (y ) و (z ) مختصات دو خط برابر هستند.

معادل مختصات (x ، ) (y ) و (z ) مختصات ، ما از معادلات ( سمت چپ (2-7 راست) دریافت می کنیم: )

[ شروع text5+t = & 1+2s \ 4 = & 2s-t & سمت چپ (8 راست) \ text1-t = & -4+s \ 5 = & s+t & سمت چپ (9 راست) \ text8-3t = & 8-2S \ 0 = & 3T-2S.& چپ (10 راست) end ] اگر معادلات را اضافه کنیم ( چپ (8 راست) ) و ( سمت چپ (9 راست) ) ما (9 = 3S ) را دریافت می کنیم و بنابراین (S = 3 ).

اگر (s = 3 ) ما می توانیم این را در تمام معادلات فوق جایگزین کنیم ( سمت چپ (8-9 راست) ) و پیدا کنیم که (t = 2 ). توجه داشته باشید که باید تمام معادلات را بررسی کنید. 2 2 باید بررسی کنید که (s = 3 ) و (t = 2 ) هر سه معادله را برآورده می کند. معمول است که آنها فقط (2 ) معادلات (3 ) را که در زیر در مثال 2 نشان داده شده است ، برآورده کنند.

بنابراین راه حل است

اگر راه حلی وجود داشته باشد، خط را قطع می کنند، اگر نه، آنها را قطع نمی کنند.

[ شروع x & = 5+t \ & = 5+2 \ & = 7 \ y & = 1-t \ & = 1-2 \ & = -1 \ z & = 8-3t \ & = 8-3 (2) \ & = 2 پایان ]