حجم هرم خاص

چهار مورب یک مکعب با طول جانبی $ ell $ در یک نقطه $ p $ ملاقات می کنند و مکعب را به شش هرم مستطیل با پایه های مربع تقسیم می کنند.

1. ارتفاع هر یک از این اهرام چقدر است؟
2. حجم هر یک از این اهرام چقدر است؟
3. به نظر می رسد منطقی به نظر می رسد که حجم یک هرم مستطیل مانند یک منشور مستطیل شکل متناسب با طول آن $ ell $ ، عرض $ w $ و ارتفاع $ H $ است. یعنی ما انتظار داریم فرمولی از فرم $ $ v = c ( ell wh) $ $ برای مقداری $ c ثابت $ باشد. یک $ c ثابت را پیدا کنید که این فرمول برای هرم مربع که در قسمت های قبلی شرح داده شده است صادق است.
4. آیا روش اختلال در این مشکل برای یافتن فرمولی برای حجم هرم دلخواه کار می کند؟چرا؟

من اظهار نظر

هدف از این کار محاسبه حجم یک هرم خاص با پایه مربع است که با مشاهده آن به عنوان یک ششم مکعب به راحتی استدلال می شود. این روش در مورد سایر اهرام یا مخروط ها صدق نمی کند اما این مزیت را دارد که بسیار بتن باشد. دانش آموزان ممکن است اهرام های مختلفی بسازند و ببینند وقتی سعی می کنند شش مورد از آنها را در کنار هم قرار دهند ، چه اتفاقی می افتد. فقط هنگامی که ارتفاع هرم نیمی از طول طرف های پایه باشد ، مانند این کار در کنار هم قرار می گیرند. قابل توجه است که فرمول حجم به دست آمده در اینجا ، $ frac $ $ ، در مورد کلیه اهرام با پایه مربع اعمال می شود.

درک فرمول حجم هرم اولین قدم به سوی انجمن مشابه برای یک سیلندر است. اگرچه برای تهیه سیلندر در کنار هم امکان پذیر نیست ، اما نسبت حجم یک مخروط به حجم سیلندر (با پایه مساوی و همان ارتفاع) همان نسبت هرم مربع به مکعب است.(یا منشور مستطیلی که در آن کتیبه شده است). ما می توانیم این را با استفاده از برش های افقی مشاهده کنیم: برای مخروط این دایره است در حالی که برای هرم مربع مربع است اما در هر دو مورد نسبت (مساحت برش: ناحیه تکه ای از شکل های دارای شکل) برای هر برش یکسان است. اگر اشیاء سه بعدی را به عنوان بسیاری از برش های بسیار نازک از این طریق مشاهده کنیم ، این به توضیح می دهد که چرا حجم یک مخروط $ frac $ سیلندر است که در آن کتیبه است. این ایده اصل Cavalieri نامیده می شود و ایده اصلی حداقل به Archimedes باز می گردد.

راه حل

در اینجا تصویری از سناریو آورده شده است. توجه داشته باشید که هماهنگی 6 اهرام را می توان به صورت پویا مشاهده کرد (چرخاندن مکعب یک هرم را به دیگری می برد) یا با محاسبه این که تمام طول های مجلل برابر است.

1. ارتفاع هرم فاصله از قله تا پایه آن است. از آنجا که اوج هرم مرکز مکعب است ، در نیمه راه بین هر جفت چهره مخالف مکعب است. از آنجا که چهره های مخالف مکعب واحدهای $ ell $ از هم جدا هستند ، ارتفاع هرم $ ell/2 $ است.
2. از آنجا که 6 هرم یکسان کاملاً مکعب را پر می کنند ، حجم هر هرم frac $ از مکعب اطراف یا $ frac ell^3 $ است.
3. برای هرم ما ، ما $ w = ell $ و $ h = ell/2 $ داریم ، بنابراین فرمول ارائه شده در مشکل $ v = c ( ell) ( ell) ( ell/2) = است = frac ، ell^3 $. برای این کار با محاسبه حجم ما از قسمت قبلی ، باید $ c = frac $ داشته باشیم. یعنی ما می دانیم که برای این هرم خاص ، فرمول $ $ v = frac ( ell wh) را داریم. $ $
4. روشی که در اینجا استفاده می شود برای این شکل خاص هرم بسیار خاص است. ابتدا بسیار مهم است که پایه هرم یک مربع باشد. ثانیاً حیاتی است که ارتفاع هرم نیمی از طول قسمتهای پایه باشد به طوری که شش اهرام کاملاً در کنار هم قرار می گیرند تا یک مکعب درست کنند. اگر ارتفاع کوچکتر یا بزرگتر بود ، دیگر برای تهیه مکعب در کنار هم قرار نمی گرفتند و بنابراین برای محاسبه حجم به استدلال دیگری نیاز است.

حجم هرم خاص

چهار مورب یک مکعب با طول جانبی $ ell $ در یک نقطه $ p $ ملاقات می کنند و مکعب را به شش هرم مستطیل با پایه های مربع تقسیم می کنند.

1. ارتفاع هر یک از این اهرام چقدر است؟
2. حجم هر یک از این اهرام چقدر است؟
3. به نظر می رسد منطقی به نظر می رسد که حجم یک هرم مستطیل مانند یک منشور مستطیل شکل متناسب با طول آن $ ell $ ، عرض $ w $ و ارتفاع $ H $ است. یعنی ما انتظار داریم فرمولی از فرم $ $ v = c ( ell wh) $ $ برای مقداری $ c ثابت $ باشد. یک $ c ثابت را پیدا کنید که این فرمول برای هرم مربع که در قسمت های قبلی شرح داده شده است صادق است.
4. آیا روش اختلال در این مشکل برای یافتن فرمولی برای حجم هرم دلخواه کار می کند؟چرا؟